Operador Nabla

El operador nabla. El operador nabla se define como:

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y), ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

en el plano y en el espacio respectivamente. Cada componente del operador nabla se entiende de la siguiente forma: su producto por un campo escalar corresponde a la parcial de dicho campo respecto a la variable indicada. Así, por ejemplo ∂/∂x f = ∂f/∂x. La expresión del operador nabla indica el uso exclusivo de las variables cartesianas.

Si f es un campo escalar de clase C¹ en el abierto U entonces el producto del operador nabla por el campo es el gradiente de f en U,

∇f = Df

Divergencia de un campo vectorial. Si F = (F₁, F₂) es un campo vectorial de dos dimensiones de clase C¹ en el abierto U entonces el producto escalar del operador nabla con el campo F define un campo escalar que se denomina divergencia del campo F en U,

div (F) = ∇ x F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y

Igualmente se puede definir con un campo vectorial de tres dimensiones.

Rotacional de un campo vectorial en el espacio. Si F = (F₁, F₂, F₃) es un campo vectorial de tres dimensiones de clase C1 en el abierto U entonces el producto vectorial del operador nabla con el campo F de.ne un nuevo campo vectorial que se denomina rotacional del campo F en U,

rot (F) = ∇ x F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z, ∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x, ∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y)

Rotacional de un campo vectorial en el plano. Sea F = (F₁, F₂) un campo vectorial de dos dimensiones de clase C¹ en el abierto U. El rotacional del campo F es un campo escalar definido de la forma:

rot (F) = ∇ x F = ∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y